Horyzonty abstrakcji

Utworzono: piątek, 23 lipiec 2010 Drukuj E-mail
 

     Jest pewnym paradoksem, że w kraju, który z jednej strony dostrzega swój wielki potencjał, a z drugiej wciąż przełamuje syndrom zaściankowości, niewielu z nas wie, a jeszcze mniej rozumie, dlaczego młodego profesora matematyki ze Lwowa świat okrzyknął geniuszem?

   Ludzie powiadają: „Po co mi matematyka? Wystarczy że umiem dodawać odejmować i mnożyć". Rzecz jednak nie w bazarowej buchalterii. Matematyka to przede wszystkim nauka - myślenia.

    Można by zapytać, czy społeczeństwo w którym karierę zrobiło powiedzenie, iż „każdy wyjątek potwierdza regułę" nie uprawia przypadkiem szermierki z logiką?

    Gdybyśmy, cofając się kilkadziesiąt lat, wstąpili do lwowskiej kawiarni o nazwie Szkocka, mielibyśmy szansę spotkać profesora samouka, obok błyskotliwego doktoranta, który zostanie zwerbowany przez Amerykanów do konstruowania bomby atomowej oraz przyszłego autora aforyzmów, którego książka popularyzująca matematykę zostanie przetłumaczona na kilkanaście języków. Rzućmy więc trochę światła na czołowych matematyków szkoły lwowskiej i kilka wybranych zagadnień, którymi się zajmowali.

                               Teoremat Banacha - Tarskiego

Stefan Banach, co może burzy stereotyp matematyka, lubił kawiarniany gwar. W wieku 30 lat został profesorem na Uniwersytecie Jana Kazimierza we Lwowie. W zeszycie nazwanym od nazwy kawiarni Księgą Szkocką wraz z przyjaciółmi zapisywał problemy, za których rozwiązanie ustalano czasem nagrody, np. dwa małe piwa, a raz nawet żywą gęś (po latach dostał ją Szwed Enflö). Księga ta przetrwała do naszych czasów i jest traktowana jak swego rodzaju relikwia.

  Gdy Banach stworzył podwaliny analizy funkcjonalnej (analiza, w której niewiadomą jest funkcja) stało się jasne, że Polska ma wielkiego matematyka.

Słynne jest twierdzenie zwane teorematem Banacha-Tarskiego, które mówi, że kulę można rozłożyć na kilka części tak, że da się z nich złożyć 2 kule tak samo duże jak kula pierwotna. Brzmi to paradoksalnie, jednak twierdzenie to Banach i Tarski udowodnili w 1924 roku. Dowód odbywa się w geometrii euklidesowej (czyli takiej, jakiej uczymy się w szkole) i polega na zastosowaniu aksjomatów z teorii mnogości (teorii zbiorów). Dzielimy kulę na kawałki i poprzez obroty i przesunięcia składamy z nich 2 kule. Z logicznego punktu widzenia dowód ten niczym nie różni się od dowodów, które poznają gimnazjaliści. Wykorzystuje natomiast tzw. aksjomat wyboru, mówiący, że mając rodzinę zbiorów rozłącznych, możemy z każdego zbioru wybrać po jednym elemencie i w ten sposób stworzyć nowy zbiór (aksjomat ten jest też zgodny z intuicją, choć właśnie teoremat B-T wywołał liczne dyskusje o jego zasadność).

    Miarą przestrzeni jest objętość (obiekt posiadający objętość jest tzw. zbiorem mierzalnym). Okazuje się jednak, że nie wszystkie zbiory w przestrzeni są zbiorami mierzalnymi. Innymi słowy, istnieją z matematycznego punktu widzenia zbiory niemierzalne (nie umiemy ich sobie wyobrazić), których objętości nie potrafimy określić (przy czym nie jest ona równa 0). Właśnie rozkładając kulę na zbiory niemierzalne, Banach i Tarski otrzymują tak nieoczekiwany rezultat. Oczywiste jest, że teoremat B-T nie jest projekcją rzeczywistego świata i być może nigdy nie znajdzie praktycznego zastosowania, czego jednak nie można wykluczyć, bo warto przypomnieć, że np. liczby urojone (tj. i2 = -1) po latach znalazły zastosowanie w analizie obwodów elektrycznych.

                                        Przestrzenie Banacha

W literaturze matematycznej często spotykamy tzw. przestrzenie Banacha. Matematyczna przestrzeń może składać się z takich obiektów jak np. punkty czy funkcje, a więc jest to pojęcie odmienne od przestrzeni w sensie potocznym. Banach zauważył, że w różnych działach matematyki dowodzi się twierdzeń, stosując w zasadzie takie samo rozumowanie. Wpada wiec na pomysł, by ogólnie rozpatrzyć zbiory elementów, dla których postuluje pewne własności, wyprowadza twierdzenie, a następnie dowodzi, że przyjęte postulaty są prawdziwe w każdym ze wspomnianych działów matematyki. Innymi słowy - po cóż prowadzić identyczny dowód w dziesięciu różnych działach, jeśli można przeprowadzić go raz na zawsze w jednym, a później powołać się nań w dziewięciu pozostałych.

Postulatem przestrzeni Banacha jest to, że musi ona być liniowa i metryczna. Żeby zachować przejrzystość wyjaśnijmy, że przestrzeń liniowa to obiekty, które można mnożyć i dodawać, zaś przestrzeń metryczna to przestrzeń z rozsądnie określonym pojęciem odległości pomiędzy elementami (celowo pomijamy tu żargon i ścisłość matematyczną). Widać teraz, że przestrzeń Banacha nie musi być jakimś niewyobrażalnym tworem, a jednym z jej przykładów jest np. linia prosta.

     W pewnym okresie Banach żeby podreperować swoje finanse pisał podręczniki z matematyki i mechaniki. Sam lubię zaglądać do jego książek, gdyż są napisane niezwykle jasno, przejrzyście i nieszablonowo. Stanisław Ulam, wspominając Banacha pisał: „W rozmowach unikał na ogół wyrażania ostrego sprzeciwu; gdy jednak nie zgadzał się ze zdaniem rozmówcy, manifestował to stawianiem pytań. W dyskusjach matematycznych...czuło się natychmiast potęgę jego umysłu".

                                           Metoda Monte Carlo

Ulama Amerykanie zwerbowali do projektu Manhattan, a następnie do prac nad bombą wodorową. Ulam pisze, że zaczynając prace nad bombą termojądrową, naukowcy musieli najpierw upewnić się, że prawdopodobieństwo zainicjowania przez taką eksplozję wybuchu całej ziemskiej atmosfery wynosi 0. Znane jest powiedzenie Ulama: „Wciąż jest dla mnie źródłem nieustającego zdziwienia, że kilka znaków nagryzmolonych na tablicy lub na kartce papieru może zmienić bieg ludzkich spraw".

Jest w fizyce ciekawa metoda obliczeń skomplikowanych probabilistycznie zjawisk, zwana Monte Carlo. To właśnie Ulam wymyślił ją do obliczeń szybkości powielania neutronów w okresie prac nad bronią jądrową. Wpadł na tę metodę, układając pasjans. Zauważył, że gdy jakiś proces staje się coraz bardziej skomplikowany, coraz trudniej jest obliczyć jego następstwa metodą kombinatoryczną i lepszym rozwiązaniem jest eksperymentowanie z procesem, by doświadczalnie określić szukane prawdopodobieństwo. Jednym z jego ulubionych żartów było, jak to teściowa podarowała zięciowi dwa krawaty. Po jakimś czasie pojechał do niej w odwiedziny, w jednym z nich. Teściowa widząc go, pyta: - co, ten drugi ci się nie podoba?

                               Aforyzmy Steinhausa

Utalentowanym literacko matematykiem był Hugo Steinhaus. Jeden z jego aforyzmów to: „Kula u nogi - ziemia". Steinhaus dostrzegał i często wskazywał praktyczne zastosowania matematyki w różnych dziedzinach. Twierdził np., że spór rozstrzygany na sali sądowej zgodnie z zasadami procedury prawniczej jest także grą i nie ma powodu, żeby uważać matematykę i sądownictwo za dziedziny całkowicie odrębne. Mówiąc o grach, miał na myśli ich współczesna teorię.

Z ironią odnosił się - jak zresztą wielu jemu podobnych - do naukowców z innych dziedzin głoszących prawdy w stylu: „Wie pan, w naszej dziedzinie 2+2 to nie zawsze cztery...". Gdy np. Henry Ford stwierdził, że matematykę należałoby w szkołach zlikwidować poza arytmetyką czterech działań, ripostował, że rzeczywiście nic więcej nie jest człowiekowi potrzebne - jeśli chce się być robotnikiem u Forda. Zauważał przy tym, że żadna istotna część samochodu Forda nie została wynaleziona w jego fabryce, a gdy już część myślowa została wykonana i należy ją powtórzyć 3 miliony razy, wtedy inne talenty dochodzą do głosu.

Matematyka jest przeceniana i niedoceniana. Przeceniana przez matematyków w tym co zrobiła; niedoceniana przez wszystkich w tym co może zrobić" - pisał.

   Kiedyś wskazał na ciekawy przykład matematyki stosowanej, jakim jest zasada „jeden dzieli drugi wybiera". Jeśli chcemy sprawiedliwie podzielić np. orzechy pomiędzy dwie osoby, jedna je dzieli na dwie części a następnie druga wybiera jedną z nich. Jest to metoda sprawiedliwego podziału (teoria gier). Steinhaus konkluduje: „Tu trzeba było tylko zauważyć, że zagadnienie sprawiedliwego w sensie prawniczym podziału jest matematyczne. Oczywiście nie mógł tego spostrzec prawnik. Przeszkadzało mu w tym przeświadczenie, że w matematyce nie ma miejsca na inną koncepcję równości, jak równość liczb...".

                        Matematyka i ojcostwo

    Steinhausa interesował też problem ustalania ojcostwa. Po sprawdzeniu dwóch tysięcy ekspertyz sądowych okazało się, że ojcostwo mężczyzn w pozwach wyniosło 72% (1956 rok) - wielkość tę nazwano wówczas miarą prawdomówności kobiet. Z matematyczną skrupulatnością rozstrzygał on różne kwestie, np. czy ekspertyza stwierdzającą prawdopodobieństwo (w języku prawniczym domniemanie) ojcostwa w 99% może być podstawą wyroku orzekającego ojcostwo, mimo przeczących temu zeznań świadków? Dodajmy, że obecnie testy DNA w połączeniu z metodami statystycznymi dają prawdopodobieństwo nawet powyżej 99,9995%.

    Steinhaus, sugerował że obliczone prawdopodobieństwo nie zmusza wcale sędziego do orzeczenia ojcostwa. Podaje ono tylko wartość pewnych faktów, z którymi sędzia nie będzie się liczył, jeśli zna inne oczywiste (np. fakt wykluczający pozwanego), ale z którymi powinien się liczyć, jeśli sprawa jest niejasna - a pewnie tak jest skoro dokonano ekspertyzy.

    Czy więc, pomimo niecałkowitej pewności, można na tej podstawie wydać orzeczenie, które obciąży ekonomicznie pozwanego? Innymi słowy: czy mała choćby szansa, że pozwany jest niewinny nie powinna sędziego powstrzymać?

   Steinhaus konkluduje, że gdyby sędzia nie orzekł ojcostwa, musiałby się zadowolić jednym procentem pewności, przerzucając koszty na matkę lub osoby trzecie (jako że nie może uchylić się od rozstrzygnięcia).

    Kiedyś matematycy zadali sobie trud, żeby znaleźć korelację pomiędzy datą urodzin a wynikami standardowego testu psychologicznego, badającego osobowość. Nie udało się im uchwycić takiej zależności, mimo to trudno uwierzyć, żeby na tej podstawie (potwierdzonej eksperymentem) ludzie przestali wierzyć, a przynajmniej czytać horoskopy.

    Steinhaus należał do tych matematyków, którzy bezlitośnie tropili i wytykali absurdy życia. Wrażenie robi przykład matematycznego myślenia na jednym z jego odczytów, gdy w pewnym momencie odszedł od tematu i w dygresji stwierdził, iż sławny El Greco malował ludzkie postacie przesadnie wysmukłe, co niektórzy historycy sztuki tłumaczą formułą: „malował tak, jak widział". Nigdy nikomu nie przyszło do głowy zapytać matematyków o to, czy rzeczywiście malarz ten był manierystą, czy malował postacie wysmukłe, bo tak w jego oczach wyglądały. Po czym Steinhaus wyjaśnia: „Matematyk rozumuje tak: gdyby El Greco widział kwadrat jako prostokąt, to namalowałby go jako kwadrat, bo wtedy i na obrazie i w rzeczywistości widziałby to samo. Jeżeli więc malował kwadraty jako prostokąty, to najwidoczniej wcale mu nie zależało na realistycznej zgodności" po czym zadaje retoryczne pytanie - po co jednak wtrącać się w nie swoje sprawy?

Można by sądzić, że rasowi matematycy są gorliwymi orędownikami konieczność podniesienia poziomu wiedzy matematycznej w społeczeństwie. Otóż nie! Są sceptyczni w tym względzie. To od nas samych zależy, czy tak „ostry instrument" (określenie Banacha) będziemy chcieli i potrafili twórczo wykorzystywać w rozwiązywaniu problemów realnego życia.

Zbigniew Cimek

e-mail: Ten adres pocztowy jest chroniony przed spamowaniem. Aby go zobaczyć, konieczne jest włączenie w przeglądarce obsługi JavaScript.

 

oem software Odsłony: 6115
DMC Firewall is a Joomla Security extension!